我们在研究某些问题时，需要处理带有很多变量的数据。变量和数据虽然很多，但可能存在噪音和冗余。然而，主成分分析法可以用少数变量来代表所有的变量，用来解释研究者所要研究的问题，化繁为简，抓住关键，也就是降维思想。本文以黄金期货为例，通过对其基本面数据进行分析，提取了对黄金影响较大的10个基本面变量，使用主成分分析法对数据进行降维处理，并使用降维后的新变量构建黄金期货的量化择时策略。

　　主成分分析法的核心思想

　　我们在研究某些问题时，需要处理带有很多变量的数据。比如，研究房价的影响因素，需要考虑的变量有物价水平、土地价格、利率、就业率等。变量和数据很多，但可能存在噪音和冗余，因为这些变量中有些是相关的，那么就可以从相关的变量中选择一个，或者将几个变量综合为一个变量，作为代表。用少数变量来代表所有的变量，用来解释所要研究的问题，就能化繁为简，抓住关键，这也就是降维的思想。

　　主成分分析法(Principal Component Analysis，PCA)就是一种运用线性代数的知识来进行数据降维的方法。它将多个变量转换出少数几个不相关的变量来，但转换后的变量能比较全面地反映整个数据集。这是因为数据集中的原始变量之间存在一定的相关关系，可用较少的综合变量来表达各原始变量之间的信息。

　　具体来看，在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大且和第一变量不相关，称为第二主成分。依次类推，i个变量就有i个主成分。其中，Li为p维正交化向量(Li×Li=1)，Zi之间互不相关且按方差由大到小排列，则称Zi为X的第i个主成分。设X的协方差矩阵为Σ，则Σ必为半正定对称矩阵，求特征值λi(按从大到小排序)及其特征向量。可以证明，λi所对应的正交化特征向量，即为第i个主成分Zi所对应的系数向量Li，而Zi的方差贡献率定义为λi/Σλj，通常要求提取的主成分的数量K满足Σλk/Σλj>0.85。

　　图为相关变量线性转换

　　主成分分析法的核心思想是降维，而降维的基础是变量之间的相关性。主成分分析法不要求所有变量都相关，但部分变量之间的相关性比较大才能满足降维的条件，否则强制对不相关的变量进行降维，主成分分析法就失去了实际意义。因此，对于价格内在影响因素相关度较强的期货品种，用主成分分析法进行分析研究是比较合适的，而对于影响因素相关度较弱的期货品种不适合。

　　那么主成分分析法是如何降维的呢？我们从坐标变换的角度来获得一个感性的认识。

　　图为主成分分析法降维正态分布

　　在短轴上，观测点数据的变化比较小，如果把这些点垂直地投影到短轴上，那么有很多点的投影会重合，这相当于很多数据点的信息没有被充分利用到。而在长轴上，观测点的数据变化比较大。因此，如果坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量直接可以从数据集的原始变量中找到，它描述了数据的主要变化。而另一个原始变量就代表短轴的变量，描述的是数据的次要变化。

　　在极端情况下，短轴退化成一个点，那么就只能用长轴的变量来解释数据点的所有变化，就可以把二维数据降至一维。不过，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行，就像上图所展示的那样。因此，需要构建新的坐标系，使得新坐标系的坐标轴与椭圆的长短轴重合或平行。这需要用到坐标变换，把观测点在原坐标轴的坐标转换到新坐标系下，同时也把原始变量转换为长轴的变量和短轴的变量，这种转换是通过对原始变量进行线性组合的方式而完成的。

　　举例来说，一个观测点在原X—Y坐标系中的坐标为(4,5)，坐标基为(1,0)和(0,1)，如果长轴为斜率是1的线，短轴为斜率是-1的线，新坐标系以长轴和短轴作为坐标轴，那么新坐标基可以取为

　　和

　　。我们把两个坐标基按行放置，作为变换矩阵，乘以原坐标，即对原坐标进行线性组合，可以得到该点在新坐标系下的坐标

　　。可以看到，变换后长轴变量的值远大于短轴变量的值。

　　如果长轴变量解释了数据集中的大部分变化，那么就可以用长轴变量来代表原来的两个变量，从而把二维数据降至一维。椭圆的长轴和短轴的长度相差越大，这种做法的效果也就越好。本文以黄金期货为例，使用主成分分析法，对影响黄金期货价格的基本面变量数据进行降维，构建其量化交易策略。

　　影响黄金价格的主要因素

　　黄金作为一种特殊的大宗商品，具有商品、货币和投资避险的多重属性。本文从黄金的供需、经济数据、金融资产三个维度中，选一些基本面因子对黄金价格的影响进行分析。

　　首先来看黄金的供需。作为一个大宗商品，黄金的上游供给量受到金矿开采以及废金回收的影响，而主要的下游需求可分为制造业需求(珠宝首饰、工业材料等)和金融投资需求。此外，像央行这样的大型市场参与者的售金、买金行为也会影响市场供需格局。

　　其次来看经济数据。黄金作为金融投资品，受到所处时期经济周期的影响，比如，经济滞涨时期，黄金的表现通常较好，投资者也更愿意将资金配置在黄金上。经济数据除了描绘当前的经济图景外，也会影响各国央行的货币政策。而以美联储为代表的大国央行的货币政策，也对同时期黄金价格走势产生比较大的影响。

　　最后来看金融资产。一方面，一些金融资产的变化可以直接影响黄金价格和投资者偏好。比如，在利率较低的时期，黄金的持有成本相对较低，配置价值也相对较高。外汇的波动会直接影响以该货币计价的黄金价格等。另一方面，一些金融资产和黄金受到相同影响因素的影响，价格波动有着较高的相关度，并且能够更好更快地反映当时市场的经济和金融氛围。

　　根据以上分析，笔者选取了10个与黄金相关度较高的基本面指标进行分析回测，分别是美国10年期国债收益率、美国10年期国债实际收益率、美元指数、VIX恐慌指数、美国失业率、美国新增非农就业人数、美国CPI、美国PPI、美国ISM制造业PMI、各国央行和其他机构黄金需求。

　　数据处理

　　数据预处理

　　商品期货的基本面数据具有种类多、时间离散、公布时间不规律等特点，需要对其进行预处理，预处理的主要目的是将其转化为可以对比分析的数据。对其进行数据公布频率的分类，并将其在时间上进行对齐处理。在数据处理时，要注意美国数据的公布时间和国内数据公布时间的时区差异，以及月度和季度数据公布的滞后性。

　　Z—Score模型

　　由于基本面数据量纲不统一，需要将其处理成无量纲且可对比的数据。在基本面分析中，一般采用Z-Score的方法对基本面数据进行处理。Z-score模型是以多变量的统计方法为基础，以破产企业为样本，通过大量的实验，对企业的运行状况、破产与否进行分析、判别的系统。具体处理方法为，将原始数据减去一段时间的均值再除以这段时间数据的标准差。Z-Score数据能够真实地反映一个分数距离平均数的相对标准距离，能确实反映原始数据的波动率信息。

　　举例来说，假设我们要比较A与B的考试成绩，A的考卷满分是100分(及格60分)，B的考卷满分是700分(及格420分)。很显然，A考出的70分与B考出的70分代表着完全不同的意义，但从数值来讲，A与B在数据表中都是用数字70代表各自的成绩。那么如何能够用一个同等的标准来比较A与B的成绩呢？Z-Score就可以解决这一问题。

　　量化回测

　　变量选取

　　首先要确定降维后的变量个数，其次通过对其波动变量方差占比进行分析，最后选出对变量集合波动贡献较大的变量。

　　图为变量波动方差贡献分布

　　从波动的贡献来看，波动率贡献最大的前四个变量对数据整体波动率贡献分别为25.24%、16.74%、12.85%和11.76%，均大于10%。考虑到后面两个影响较少和尽量精简模型输入，选取最为重要的两个变量。确定好最终的变量个数后，用主成分分析法对数据进行降维处理，降维后得到两个新的数据序列。

　　变量分析

　　为方便识别，降维后的变量序列称为principalcomponent1和principalcomponent2。对原始基本面数据变量进行编码：fx为美国10年期国债收益率；realfx为美国10年期国债实际收益率；dollarindex为美元指数；vixindex为VIX恐慌指数；lossjob为美国失业率；offfarm为美国新增非农就业人数；uscpi为美国CPI环比；usppi为美国PPI环比；uspmi为美国ISM制造业PMI；balancedata为各国央行和其他机构黄金需求量。

　　图为原始变量和降维后变量关系(绝对值)

　　从上图可以看出，和降维后数据关系较为密切的变量为美国10年期国债收益率、美国10年期国债实际收益率、美国CPI环比和PPI环比等数据，这说明在这10个基本面的变量中，单个变量对其他的变量影响较大的为以上四个变量。在实际分析中，美国10年期国债收益率、美国10年期国债实际收益具有较高的相关性，CPI和PPI长期走势趋于统一。因此，对基本面影响较大的两个变量可以概括为美国10年期国债收益率和CPI。部分数据，如各国央行和其他机构黄金需求量公布频率较低，经过数据处理后，整体波动不大，弱化了它对其他变量的影响。美元指数和VIX指数尽管公布频率较高，但整体对基本面数据影响较小。

　　数据回测

　　对降维后的两个变量进行处理，构建与黄金价格的关系，其较为直接的想法是对两个变量进行赋权，构建成一个包含两个变量的线形变量。

　　综合变量被设计成一个与黄金期货价格正相关的变量。从原始变量和降维后变量关系图中可以看出，principalcomponent1与美国10年期国债收益率相关度较高，由此可以判断它与黄金价格为负相关关系；principalcomponent2与美国CPI、PPI相关度较高，由此可以判断它与黄金价格为正相关关系。不过，在构建变量时，不能简单地做权重分布，还要考虑方向问题。

　　图为降维后的变量走势

　　由于前期做了数据的Z-Score处理，数据本身具有均值回复的特征，类似布林带指标，设定一个阈值，当综合指标低于阈值的反数时，做多黄金期货；在综合指标高于阈值时，做空黄金期货。为充分反映趋势，当做多时，综合指标高于阈值时平仓；当做空时，综合指标低于阈值的反数时平仓，平仓和开仓不同时进行，不做止损和止盈。

　　数据回测中，采用黄金期货指数，资金不加杠杆，策略的开平仓费率设为0.02%，数据结果仅供投资者参考。用年化波动率对收益净值进行仓位控制，控制目标为年化波动率为10%，其收益走势如下：

　　图为收益净值和仓位控制后净值

　　该量化策略近10年时间共交易58次，做多38次，做空20次，持有时间波动较大，最近一次交易为2019年6月10日收盘做多，多单持有至今。策略不经仓位控制的年化收益为8.22%，最大回撤为23.20%；经仓位控制后年化收益为7.15%，最大回撤为10.36%。

　　总结

　　本文对黄金期货的基本面数据进行分析，提取了对黄金影响较大的10个基本面变量，使用主成分分析法对数据进行降维处理，并使用降维后的新变量构建黄金期货的量化择时策略。

　　通过数据回测，笔者发现，基本面数据对黄金的量化择时(利用数量化的方法，通过对各种宏观、微观指标的量化分析，试图找到影响大盘走势的关键信息)起到一定效果，在不加杠杆的情况下，总体年化收益在7%以上。在数据降维后，研究发现，黄金基本面数据较为核心的影响因素为美国10年期国债收益率和CPI，美元指数和VIX指数对基本面数据的整体影响则较弱。